焦点日报:保存象棋棋盘信息,需要多少比特?我只用139-167位二进制
2023-04-23 14:54:26 来源:腾讯云 编辑:

如何存储当前棋局

方案有3种:

象棋一共32个棋子,每个棋子有91种状态:死亡或位于0-89中任一位置。所以用长度为32的列表即可,每个数的值域是0-90,其中90代表死亡。死亡的棋子不再占用空间,使用类似map的结构,key是棋子id,value是棋子位置(0-89)。压缩空间的方案:将帅个子有9个可能在的位置,只需要0-9即可表示,需要至多5位二进制。士有5种位置,每个士只需要至多3位二进制。以此类推……占用空间最少。

分析方案一:数组长度为32,每个数组项目是个uint8,总共8 * 32 = 256 位。

分析方案二:在棋子多的时候,占用空间较多,所以存储空间的大小不太稳定。


(资料图片)

方案三占用空间少,但是开发成本也较高,需要开发者去拼接二进制位。

今天我们探讨方案三。

前缀码

引入一个概念:Prefix-Free Code,也可以叫 Prefix Code,它来源于信息论学科,维基百科:en.wikipedia.org/wiki/Prefix… 描述如下:

A prefix codeis a type of code system distinguished by its possession of the "prefix property", which requires that there is no whole code word in the system that is a prefix (initial segment) of any other code word in the system. It is trivially true for fixed-length code, so only a point of consideration in variable-length code.

For example, a code with code words {9, 55} has the prefix property; a code consisting of {9, 5, 59, 55} does not, because "5" is a prefix of "59" and also of "55". A prefix code is a uniquely decodable code: given a complete and accurate sequence, a receiver can identify each word without requiring a special marker between words. However, there are uniquely decodable codes that are not prefix codes; for instance, the reverse of a prefix code is still uniquely decodable (it is a suffix code), but it is not necessarily a prefix code.

它举了个例子,针对集合{9, 5, 59, 55}就不是 prefix code,因为「5」有二义性,遇到5后,不知道该结束流程,还是继续读取后面的9或5。

哈夫曼编码 Huffman Coding

信息论中有个经典问题:给定一篇文章,如何用最短的二进制编码它。

解决方案就是:找出出现的所有单词集合(例如:I am good good good,出现了3个单词),计算每个单词出现频率,以某种方式,构造每个单词对应的二进制编码,满足条件:基于前缀就能知道它代表哪个单词。然后我们把这些前缀拼在一起,就成功编码了(并且是可以解码的)。

例如这种编码 good = 0, I = 10, am = 11,文章就表示为1011000。

这是最简短的编码了。构造方法就是通过构造一颗哈夫曼树,算法如下:

针对每一个单词(或组合),都有一个对应的频数,作为频数表。如果当前只有1个,就进入4,否则进入2。找到频数最低的2个,作为表示一个组合,他们对应的频数就是两个单词(或组合)的频数之和,加入频数表(同时删除这2个单词或组合各自的频数)。选取的2个单词(或组合),分别作为左子树和右子树,组成一个树。进入1。现在得到了一个二叉树(叫做哈夫曼树),每个叶子结点代表一个单词。规定左分叉为0,右分叉为1,这个单词对应的 Prefix Code就是根节点到它的路径。

例如上述编码对应的哈夫曼树就是:

对于象棋的启发

回到象棋棋盘状态的问题:

将帅有10个位置(包括死亡状态)。士有6个位置(包括死亡状态)。象有8个位置(包括死亡状态)。马有91个位置(包括死亡状态)。车有91个位置(包括死亡状态)。炮有91个位置(包括死亡状态)。兵有48个位置(包括死亡状态)。

不妨假设他们出现在各个位置的频率都一致,不难构造出对应的编码。(这样的编码是比较稳定的,无论棋局变成什么样子,存储占用空间都不会太大)

10个位置,需要3-4位。6个位置,需要2-3位。8个位置,需要3位。48个位置,需要4-5位。91个位置,需要6-7位。

这样算下来,保存一个象棋的棋子位置信息,最少需要:

(3+2*2+3*2+6*6+4*5)*2=138位,再用1位保存该谁下棋了,总共至少需要139位。至多需要(4+3*2+3*2+7*6+5*5)*2=166位,再用1位保存该谁下棋了,总共至多需要167位。

有办法实现吗?

上面说的很理想,如何实现呢?

我们以10个位置的情况,来探讨通用的编码生成方法。首先根据哈夫曼树,可以构造这样的编码:

000代表0001代表1010代表2011代表3100代表4101代表51100代表61110代表71101代表81111代表9

随后容易发现这样的规律:

至于0-5,用3位二进制编码即可。至于6-7,我们需要在3位的6(110)7(111)末尾新增0。至于8-9我们需要在3位的67末尾新增1。

可以利用数学归纳法,归纳总结出这样的算法:

针对X个位置的情况,计算Log2(X),分别向下取整和向上取整,得到A和B。如果A=B,则用A位二进制表示这X个数即可,直接转换进制。如果A0至2^A-1-(X-2^A);用B位二进制表示其它位置;针对位置2^A-(X-2^A)2^A-1,编码为A位的进制转换,并在末尾拼接一位0(共计B位);针对其它位置,编码为位置减去(X-2^A)再转换二进制,并在末尾拼接一位1(共计B位)。

可以发现,这种算法,位置编号小的比位置编号大的少了一位。也就是说,我们应该尽量把出现频率较高的位置放在前面。

生成各棋子的位置列表

const RedAllCandidates = new Array(90).fill(0).map((a, i) => 89 - i);const BlackAllCandidates = new Array(90).fill(0).map((a, i) => i);const RedSoliderCandidates = new Array(45).fill(0).map((a, i) => 44 - i);const BlackSoliderCandidates = new Array(45).fill(0).map((a, i) => 45 + i);// 分别是将、士、士、……const PieceCandidates = [  [85, 86, 84, 76, 77, 75, 67, 68, 66, 127],  [127, 86, 84, 76, 68, 66],  [127, 84, 86, 76, 66, 68],  [127, 87, 67, 71, 51, 83, 47, 63],  [127, 83, 67, 63, 47, 87, 51, 71],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, ...RedAllCandidates],  [127, 62, 53, ...RedSoliderCandidates],  [127, 60, 51, ...RedSoliderCandidates],  [127, 58, 49, ...RedSoliderCandidates],  [127, 56, 47, ...RedSoliderCandidates],  [127, 54, 45, ...RedSoliderCandidates],  [4, 3, 5, 13, 12, 14, 22, 21, 23, 127],  [127, 3, 5, 13, 21, 23],  [127, 5, 3, 13, 23, 21],  [127, 2, 22, 18, 38, 6, 42, 26],  [127, 6, 22, 26, 42, 2, 38, 18],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, ...BlackAllCandidates],  [127, 27, 36, ...BlackSoliderCandidates],  [127, 29, 38, ...BlackSoliderCandidates],  [127, 31, 40, ...BlackSoliderCandidates],  [127, 33, 42, ...BlackSoliderCandidates],  [127, 35, 44, ...BlackSoliderCandidates],];

解释:

我可以把将帅的「死亡」(127)调整到了最后一位,因为他们死亡是非常罕见的,这样可以节约2bit空间。我刻意把棋子常见位置放在了数组前几位,尤其是将帅、士、兵,这样可以节约几bit空间。兵的位置,红色和黑色不同,刚过河的一排放在前面,离河远的位置放在后面,可以节约几bit空间。

提前计算log

为了提高效率,我应该避免在JS中计算Math.log2,而要提前定义好运算结果。

const ceilLog2Map = new Map([  [1, 0],  [2, 1],  [3, 2],  [4, 2],  [6, 3],  [8, 3],  [10, 4],  [17, 5],  [48, 6],  [91, 7],]);const floorLog2Map = new Map([  [1, 0],  [2, 1],  [3, 1],  [4, 2],  [6, 2],  [8, 3],  [10, 3],  [17, 4],  [48, 5],  [91, 6],]);

按照编码规则encode

基于文章《JS 按自定义格式 拼接二进制串 解析二进制串》提到的concatBits函数,我写了concatFlexibleBits函数:

function concatFlexibleBits(current: number, offset: number, candidateIndex: number, candidateLength: number): [number, number, number[]] {  const floorLog = floorLog2Map.get(candidateLength)!;  const ceilLog = ceilLog2Map.get(candidateLength)!;  const last = 2 ** floorLog;  const beyond = candidateLength - last;  if (floorLog === ceilLog || candidateIndex < last - beyond) {    return concatBits(current, offset, candidateIndex, floorLog);  }  let newCurrent = current;  let newOffset = offset;  const array: number[] = [];  let newUint8: number[];  if (candidateIndex < last) {    [newCurrent, newOffset, newUint8] = concatBits(newCurrent, newOffset, candidateIndex, floorLog);    array.push(...newUint8);    [newCurrent, newOffset, newUint8] = concatBits(newCurrent, newOffset, 0, 1);    array.push(...newUint8);  } else {    [newCurrent, newOffset, newUint8] = concatBits(newCurrent, newOffset, candidateIndex - beyond, floorLog);    array.push(...newUint8);    [newCurrent, newOffset, newUint8] = concatBits(newCurrent, newOffset, 1, 1);    array.push(...newUint8);  }  return [newCurrent, newOffset, array];}

这里encode规则,就是按照上面提到的算法实现的。不过多解释了。

按照编码规则decode

基于文章《JS 按自定义格式 拼接二进制串 解析二进制串》的readBits函数,我写了readFlexibleBits函数:

function readFlexibleBits(array: Uint8Array, bitsOffset: number, candidateLength: number) {  const floorLog = floorLog2Map.get(candidateLength)!;  const ceilLog = ceilLog2Map.get(candidateLength)!;  const last = 2 ** floorLog;  const beyond = candidateLength - last;  const [number, offset] = readBits(array, bitsOffset, floorLog);  if (floorLog === ceilLog || number < last - beyond) {    return [number, offset];  }  const [current, offset2] = readBits(array, offset, 1);  if (current) {    return [number + beyond, offset2];  }  return [number, offset2];}

这里decode规则,是按照上面算法解析的。先读取floorLog位,如果总位置数就是2的次方,则结束。如果读取到的数比较小,也结束。如果读取到的数超过某个临界值,就需要多读取一位,决定它代表谁。

结论

方案三可以实现,并且比方案一节约了35%-45%的空间。

关于性能:编码、解码逻辑全都位于用户浏览器中执行,对服务器无影响,浏览器也会在人感知不到的耗时内运算完。

有什么用?

我在开发《象棋》时,期望通过URL来分享棋局。我希望分享的URL能永久有效,而且不喜欢给服务器太多债务(不采用token+数据库存储棋盘信息)。那么URL中必须包含完整的棋盘信息。

如果把棋盘信息存到URL中,那么URL越短,越好。

例如:game.hullqin.cn/xq?p=gSQCL5P5oIDhCFJCIBJ4eQCAkX8&r=86pU6-4nbSh38OCojLarcupWOb1rXw&s=1 ,点开后就能立马展现某场对局。

这个URL里,保存了棋盘所有棋子信息、所有历史记录(10个回合即20步)。方便大家保存、分享。

保存历史记录,也是通过类似的手段实现的,占用空间非常小(长度两百的字符串,足够存储大部分常规对局的历史记录)。

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写在最后

我是HullQin,公众号线下聚会游戏的作者(欢迎关注我,交个朋友)。转发本文前需获得作者HullQin授权。我独立开发了《联机桌游合集》,是个网页,可以很方便的跟朋友联机玩UNO、飞行棋、斗地主、五子棋、一夜狼、狼人杀、象棋、德国心脏病、达芬奇密码等游戏,不收费无广告。还开发了《Dice Crush》参加Game Jam 2022。喜欢可以关注我噢~我有空了会分享做游戏的相关技术,会在这个专栏里分享:《教你做小游戏》。

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